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練習問題5.1

キュムラントとか授業じゃほとんどやらなかったからねー。キュムラントについて理解を深めようー
確率分布関数が $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-x^{2}/2\sigma^{2}$ であるとする。このとき、
(a)特性関数 $C(\xi)$
$C(\xi)=\langle e^{\xi x}\rangle$
$= \int_{-\infty}^{\infty}e^{\xi x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-x^{2}/2\sigma^{2}}\mathrm{d}x$
$=e^{\xi^{2}\sigma^{2}}/2$

(b)n次のモーメント
$\mu_{n}=\langle x^{n}\rangle$
$C(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\xi^{n}}{n!}\langle x^{n}\rangle$
$=e^{\xi^{2}\sigma^{2}/2}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}(\frac{\xi^{2}\sigma^{2}}{2})^{m}$
係数を比較することにより
$\langle x^{2m}\rangle = \mu_{2m} = \frac{(2m)!}{m!2^{m}}\sigma^{2m}$
奇数次はゼロ。