5章 キュミュラント展開(2)

5.2 多変数に対するキュミュラント展開

1変数のキュミュラント展開を次のように一般化する。いま、Mこのパラメータ \xi_{1},\xi_{2},\cdots ,\xi_{M}およびM個の変数 x_{1},x_{2},\cdots ,x_{M}があるとして、
 C(\xi_{1},\xi_{2},\cdots ,\xi_{M}=\langle e^{\xi_{1}x_{1}+\xi_{2}x_{2}+\cdots +\xi_{M}x_{M}\rangle…(13)
を考える。 C(0,0,\cdots ,0)=1を仮定する。(13)を展開して
 C(\xi_{1},\xi_{2},\cdots ,\xi_{M})=\sum \frac{\xi_{1}^{m_{1}}\xi_{2}^{m_{2}}\cdots \xi_{M}^{m_{M}}}{m_{1}! m_{2}! \cdots m_{M}!}\mu(\b{m})
ここで、 \mu(\b{m})
 \mu(\b{m})=\langle x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{M}^{m_{M}}\rangle
であり、M次元空間内のベクトル(m1, m2, ..., mM)と同一視できるとする。
 \ln C(\xi_{1},\cdots , \xi_{M})=\sum '\frac{\xi_{1}\cdots \xi_{M}^{m_{M}}}{m_{1}!\cdots m_{M}!}\lambda(\b{m})
ここで \sum ' m_{i}がすべてゼロであるような場合を除いた和を意味する。
 \lambda(\b{m})=\langle x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{M}^{m_{M}}\rangle_{c}
やはり形式的に
 \ln\langle e^{\xi_{1}x_{1}+\cdots +\xi_{M}x_{M}}\rangle =\langle e^{\xi_{1}x_{1}+\cdots \xi_{M}x_{M}}-1\rangle_{c}

キュミュラントの例

 \langle x_{1}x_{2}\rangle_{c}を考える。
 \ln \langle e^{\xi_{1}x_{1}+\xi_{2}x_{2}}\rangle =\langle e^{\xi_{1}x_{1}+\xi_{2}x_{2}}-1\rangle_{c}
右辺の \xi_{1}\xi_{2}の係数が \langle x_{1}x_{2}\rangle_{c}であるから、左辺について \langle x_{1}x_{2}\rangle_{c}の係数を求めればよい。
 \langle e^{\xi_{1}x_{1}+\xi_{2}x_{2}}\rangle=1+\xi_{1}\langle x_{1}\rangle+\xi_{2}\langle x_{2}\rangle+\xi_{1} \xi_{2}\langle x_{1}x_{2}\rangle +\cdots
対数をとり展開すれば結局
 \langle x_{1}x_{2}\rangle_{c}=\langle x_{1}x_{2}\rangle -\langle x_{1}\rangle \langle x_{2}\rangle
まったく同様の方法により、3変数の場合の式
 \langle x_{1}x_{2}x_{3}\rangle_{c}=\langle x_{1}x_{2}x_{3}\rangle -\langle x_{1}\rangle \langle x_{2}x_{3}\rangle -\langle x_{2}\rangle \langle x_{3}x_{1}\rangle -\langle x_{3}\rangle \langle x_{1}x_{2}\rangle +2\langle x_{1}\rangle \langle x_{2}\rangle \langle x_{3}\rangle

キュミュラントに関する定理

変数 x_{1},x_{2}が互いに独立であることを次のように定義する:
 \langle e^{\xi_{1}x_{1}+\xi_{2}x_{2}}\rangle=\langle e^{\xi_{1}x_{1}}\rangle \langle e^{\xi_{2}x_{2}}\rangle
このとき、次の定理が成り立つ。
定理:  x_{1},\cdots , x_{M}のうち、勝手なn個をとる。このn個を x_{1},\cdots , x_{n}とするとき、このn個を独立な二つ以上の組に分けることができるならば
 \langle x_{1}^{\nu_{1}}x_{2}^{\nu_{2}}\cdots x_{n}^{\nu_{n}}\rangle_{c}=0  (\nu_{i}=0,1,2,...)
証明は \langle e^{\xi_{1}x_{1}+\cdots +\xi_{n}x_{n}}\rangle =\langle e^{\xi_{1}x_{1}+\cdots +\xi_{l}x_{l}}\rangle \langle e^{\xi_{l+1}x_{l+1}+\cdots +\xi_{n}x_{n}}\rangleの両辺についてξで展開し、係数を比較すればよい。
この定理は、「独立な変数同士の積を含むキュミュラントはゼロになる」ということを述べている。