5章　キュミュラント展開

阿部

5-1　1変数に対するキュミュラント展開

C(\xi)を次で定義する：
C(\xi)=\langle e^{\xi}x\rangle…(6)
ここで角かっこはxについて分布関数f(x)による平均操作。定義よりC(0)=1は自明。いま
C(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\xi^{n}}{n!}\mu_{n}
とC(ξ)をξについて展開する。μは
\mu_{n}=\langle x^{n}\rangle
によって定義される、n次のモーメントと呼ばれる量。当然 \mu_{0}=1。以下では、すべての \mu_{n}が有限であるという仮定をおく。上式の対数をとる
\ln C(\xi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\xi^{n}}{n!}\lambda_{n}
このとき \lambda_{n}をn次のキュミュラントとよび、上のような展開をキュミュラント展開と呼ぶ。また、(6)に対応して
\lambda_{n}=\langle x^{n}\rangle_{c}
とあらわし、 \langle \cdot \rangle_{c}のことをキュミュラント平均と呼ぶ。*1=e^{-\beta \Omega}]と似ていますね))
\lambda_{n}は具体的に求めることができる:
\ln C(\xi)=\ln (1+\xi \mu_{1}+(1/2!)\xi^{2} \mu_{2}+(1/3!)\xi^{3}\mu_{3}+\cdots)
= \xi \mu_{1}+\frac{\xi^{2}}{2!}(\mu_{2}-\mu_{1}^{2})+\frac{\xi^{3}}{3!}(\mu_{3}-3\mu_{1}\mu_{2}+2\mu_{1}^{3})+\cdots
キュミュラントを具体的に書き下すと
\langle x\rangle_{c}=\langle x\rangle
\langle x^{2}\rangle_{c}=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}
\langle x^{3}\rangle_{c}=\langle x^{3}\rangle -3\langle x\rangle \langle x^{2}\rangle+2\langle x\rangle^{3}
これらの結果は形式的に、
\ln \langle e^{\xi}x\rangle = \langle e^{\xi x}-1\rangle_{c}
とまとめられる。

*1:ここら辺は熱力学関数の定義[tex: \mathrm{Tr}(\exp(-\beta H+\beta \mu N