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高校の頃、対数微分という技をならった。例えばという関数を微分するとき、まず両辺の対数をとり logy=xlogxとしてから両辺の微分をとり y'/y = logx+1 から、y' = x^x (logx+1)とする方法だった。もちろん対数関数の性質を理解していればこんなものは必要ない。y=x^x=e^(xlogx)とし、合成関数の微分の公式からy'=e^(xlogx)(xlogx)'=x^x(logx+1)である。ちゃんと数学を勉強してる受験生でも、基本的な性質（ほとんど定義だったりして…）を蔑ろにしているのを見たりした。
ベクトルの内積についても、図形的な意味抜きでは理解しづらいと思う。