選択公理についていくつか思うことがある。これは数学の初心者である僕が言っているだけで、実際のところどうなっているのかはまったく知らないよ、と逃げの手を打っておこう。
無限集合を扱うようになって、よく選択公理を使う証明を見かけるようになったのだけれど選択公理を認めて出てきた結果というのは我々がよく使う数学の範囲内で正しい結果を導くのか。選択公理を認めない数学というのがあるのだろうが、何か重大な欠陥があるのだろうか？なんとなく研究の対象として魅力に欠けるんじゃないかと思ってしまうのだけどね。
内田先生の集合論の本でもウリゾーンの補題を示すのに選択関数の存在を認めている。これを認めないと結構いろんなことが証明できないと思うんだけど。選択公理を使わない数学っていうのは
それはそれで(面白いかは別として)結構調べる必要があるんじゃないのか。それで問題がないのなら選択公理なんて怪しげなものを認める必要がなくなるじゃない。
と、ここまで書いて思うのである。選択公理から導かれる結論（バナッハ-タルスキのパラドックスとか）が妙なのか、それとも選択公理を認めないことが妙なのか、どちらなのだろうと。個人的にバナッハ-タルスキのパラドックスはあまり摩訶不思議という気がしないので選択公理は認めても良いと思うのだけど。
あと、TeXでヒゲ文字ってどうやって打つのか知ってる人いたら、コメントください！
