フーセンの問題

フーセン - 柳に燕の解答編。簡単でしたでしょうか。以前にも書きましたが、モデル化が物理の難しいところでなんかいろんな差が一番出るんじゃないかと感じてます。仮定として以下を要請します。

半径rに膨らんだフーセンのエネルギー $U\propto S$ 。Sは表面積 $4\pi r^{2}$

こうすると、ある体積の空気 $\Delta V$ を吹き込んだ時にフーセンのもつエネルギーの増加 $\Delta U$ は、 $p\Delta V$ と等しくなり、 $\Delta V/\Delta U$ のr依存性によってpのr依存性を議論できる。以下解答本編。
$\Delta U \propto \Delta S=8\pi r \Delta r$
$\Delta U/\Delta V \propto \Delta S/\Delta V= 8\pi r \Delta r/4\pi r^{2}\Delta r$
$\Delta U/\Delta V \propto 1/r$
したがって、rが大きくなるほどフーセンを同じ体積膨らませるのはどんどん楽になる。簡単でしたか?UとSが比例するという仮定ですが、これはフーセンのゴムが四方に復元力を持つフック型のポテンシャルをもつことから正当性が示せます。