昨日の積分

院試

昨日の積分は簡単で、お布団の中で考えたら解決しました。
\int_{0}^{\infty}\frac{y}{e^{y}+1}\mathrm{d}y
=\int_{0}^{\infty}\frac{ye^{-y}}{e^{-y}+1}\mathrm{d}y
=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}{ye^{-y}}e^{-ny}\mathrm{d}y
とすればこれはgamma関数の和ですねー。置換積分とかうんたらした結果
=1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\cdots
=\zeta(2)-2\frac{1}{2^{2}}\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{12}
ゼータ関数ζ(２)=π^2/6だけ既知としました。