はてQ用 - ttrr's blog

班ごとに椅子を2つ用意します。
班Aは椅子A,a
班Bは椅子B,b
班Cは・・・
といった具合です。

例えば、班Aにジャックとスミスが属する場合
『a･･･ジャック　A･･･スミス』と『a･･･スミス　A･･･ジャック』
を異なる場合としてカウントするわけです。
(別に文字は今後出てきませんが、わかりやすさのために使いました)

このように設定し、ペア内で席順が異なるとして数えても
結果の確率には影響しないことを確認してください。
（最終的に分母分子を $2^5$ =32で割るだけで確率である解答に
影響は出ないのです。）

以下では、女性と女性のペアが生じる場合を数え上げていきます。
最終的に女性同士のペアができる確率を求めればその余事象が
求めている確率になることを確認してください。

班分けされる10人(以下メンバーと呼ぶ)の中に
何人の女性がいるかで場合分けをして考えます。

[0]メンバー内に女性が0人
[1]メンバー内に女性が1人
これらのとき、女性同士のペアは生じません。

[2]メンバー内に女性が2人
このとき
(どの班か) $\times$ (どの2人が同じペアかか) $\times$ (残りの男性8人の選び方) $\times$ (並べ方)
=5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ (4C0 $\times$ 19C8) $\times$ 8!

女性が3人以上のときも似たような感じです

[3]メンバー内に女性が3人
このとき女性同士ペアの2人の選び方、2人がどの班に属するかを考慮すれば
メンバーに選ばれた3人目(男性とペアを組む)の女性は男性と一緒に扱うことが
できることを確認してください。すると、

(どの班か) $\times$ (どの2人が同じペアかか) $\times$ (残りの女性1人+男性7人選び方) $\times$ (並べ方)
=5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ (4C1 $\times$ 19C7) $\times$ 8!)

後は同じ要領で行きます。

[4]メンバー内に女性が4人
(どの班か) $\times$ (どの2人が同じペアか) $\times$ (残りの女性2人+男性6人選び方) $\times$ (並べ方)
=5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ (4C2 $\times$ 19C6) $\times$ 8!)

[5]メンバー内に女性が5人
(どの班か) $\times$ (どの2人が同じペアか) $\times$ (残りの女性3人+男性5人選び方) $\times$ (並べ方)
=5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ (4C3 $\times$ 19C5) $\times$ 8!)

[6]メンバー内に女性が6人
(どの班か) $\times$ (どの2人が同じペアか) $\times$ (残りの女性4人+男性4人選び方) $\times$ (並べ方)
=5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ (4C4 $\times$ 19C4) $\times$ 8!

さて、ここに式を書き下した[0]〜[6]の和が女性ペアを生じる組み合わせの数の和を求めます。
これらの式はとてもよく似ていて、異なるのはコンビネーションを含む箇所だけです。

すなわち
5 $\times$ (6 $\times$ 5) $\times$ {(4C0 $\times$ 19C8)+(4C1 $\times$ 19C7)+(4C2 $\times$ 19C6)+(4C3 $\times$ 19C5)+(4C4 $\times$ 19C4 $\times$ )} $\times$ 8!
さてこの式中の中括弧{}の中身ですが2項定理の応用で
( $(x+1)^4$ の0次の項の係数)( $(x+1)^{19}$ の8次の項の係数)+( $(x+1)^4$ の1次の項の係数)( $(x+1)^{19}$ の7次の項の係数)+･･･( $(x+1)^{4}$ の4次の項の係数)( $(x+1)^{19}$ の4次の項の係数)
=( $(x+1)^{23}$ の8次の項の係数)=23C8
となっています（大丈夫でしょうか??^^)