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「1.01の法則」の近似計算の方法

http://copywriterseyes.hatenablog.jp/entry/2013/10/27/033346

 

この記事を読んで考えてみた。 1.01^{365}とか 0.99^{365}をパッと見で許せる範囲の誤差で,暗算で評価できるだろうか?1%の努力を1年続けた人はそうじゃない人の10倍上達するのか?それとも100倍だろうか?それとも高々数倍程度だろうか??

高校の物理で習った人なら,まず二項分布による評価が真っ先に頭に浮かぶんじゃなかろうか。 (1+x)^n\simeq 1+nxというアレだ。しかしこれは今回の場合適用条件が怪しい。たとえば今回の場合だと 0.99^{365}= (1-0.01)^{365}\simeq 1-3.65 =-2.65と,正数となるはずの答えが負になりこれは明らかにおかしい。言うまでもなく,近似として落とされたxの2次以上の項が効いている。指数が大きいがために,2項分布の係数が2次以上の項において0.01倍されるよりも早く増大していることが原因の大きな誤差が見えている。

一つの目安として前項の係数との比が100程度になるまで項を足してみよう。例えば初めの第4項までと見積るなら, (1+x)^n=1+nx+_nC_2 x^2/2 +_nC_3 x^3/6+_nC_4 x^4/24としてみると 0.99^{365} \simeq 3.23 1.01^{365}\simeq26.6となった。やはり収束性の悪さが出てしまっている。第一,これでは暗算でできる計算とは程遠くなってしまっている。

 

それじゃあどうしたら?というと対数関数を使うのが良いように思う。そう,例え暗算であってもね!

lnの1付近での近似を使えば \ln(1.01)^{365} = 365\ln(1+0.01)\simeq 3.65またほとんど同じ計算によって, \ln(0.99)^{365} \simeq -3.65。答えを求めるにはこれをeの肩に乗せてやればいい…とはいってもここに難しさが出てきた。2.718...^{3.65}は初めの式に比べればだいぶフレンドリーだが,これを暗算するには何かしらの工夫が要るだろう。ぱっと思いつくのは上下から大ざっぱにはさむことだが,例えば 2.56^{3.5} \simeq 2.5^3 * 1.6< 2.718...^{3.65} [< 3^4 = 81とでもすれば,少なくとも答えが2ケタであることはわかる。上の方の評価がやたら粗っぽいのはキニシナイ(顔略)

最後にチラと一般性のない解法を書くけど,利子計算でおなじみの72の法則とか知ってる人なら,365≒72*5として,2^5=32と答えを導くだろうね。

何かほかに知識に頼らないラクチンな計算方法があったら教えてほしいどぅぇーす