院試ワザ

後輩の院試勉強を見た。「ラプラシアンの極座標表示を覚えたほうが便利だろうか」という話になった。俺の考えでは、テストで得点するための効率という面からも、覚える必要はない、という結論だ。だいたいあんなもんは覚えてもすぐ不安で使えなくなる。必要になるような問題ならばおそらく問題文中に与えられるだろうから、必要ないのではないかというはなし。
ちょっと数学が出来る方はその場で導けよ、と思うかもしれない。しかし理科教育をこなした諸兄ならご存知のとおり、あの計算は「一度やったらもう二度とやりたくない」タイプの計算であり、正攻法でやっていたら時間がいくらあっても足りないのだ。

正攻法では･･･愚直には、のほうが正しいかもしれない。実はラプラシアンの極座標での表現というのは∇の極座標表示を導ければ後は案外簡単に導ける。そして、ナブラの極座標表示は線素の考え方からすぐに出てくる。詳しくは極座標のラプラシアンの出し方いろいろなんかの素晴らしいページを見てほしい。

\nabla = e_{r}\partial_{r}+e_{\theta}(1/r)\partial_{\theta}+e_{\phi}(1/r\sin \theta)\partial_{\phi}

\nabla^{2}=\left( e_{r}\partial_{r}+e_{\theta} \frac{1}{r} \partial_{\theta}+e_{\phi} \frac{1}{r\sin \theta} \partial_{\phi} \right) \cdot \left( e_{r}\partial_{r}+e_{\theta} \frac{1}{r} \partial_{\theta}+e_{\phi}\frac{1}{r\sin \theta}\partial_{\phi}\right)

気をつけなきゃならないのは
\partial_{\theta}e_{r}=e_{\theta}, \partial_{\phi}e_{r}=r\sin \theta e_{\phi}, \partial_{\phi}e_{\theta}=\cos \theta e_{\phi}ということくらいだ。
慣れれば暗算で導出できるぞ！俺ももう暗算でできるようになった。今更感はあるけどね。