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数学 memo

Aという物理量のトレースを考える。規格直交化された2つの基底系 \{ |x_{i}\rangle ; i\in \mathbf{N}\}と \{ |y_{i}\rangle ; i\in \mathbf{N}\}を考える。
\mathrm{Tr} A = \sum_{i=0}^{\infty}\langle x_{i} |A|x_{i}\rangle
トレースは基底によらないことを見る。(示すほどのことではないので見るといおう)
\mathrm{Tr} A = \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j,k=0}^{\infty}\langle x_{i} |y_{j}\rangle \langle y_{j}|A|y_{k}\rangle \langle y_{k}|x_{i}\rangle
= \sum_{i,j,k=0}^{\infty}\langle y_{k}|x_{i}\rangle\langle x_{i} |y_{j}\rangle \langle y_{j}|A|y_{k}\rangle
= \sum_{j,k=0}^{\infty}\langle y_{k}|y_{j}\rangle \langle y_{j}|A|y_{k}\rangle
\langle y_{k}|y_{j}\rangle =\delta_{k,j}を用いれば上式は
= \sum_{j=0}^{\infty}\langle y_{j} |A|y_{j}\rangle
となる。トレースは座標系によらない性質が示された。くだらない例だが、ディラック記法の機能美を感じろ（命令形）。