using a sledge hammer to kill a fly

はえたたき替りにスレッジハンマーをブンブンふるってみよう. 古典力学における調和振動子のハミルトニアンは
$H=\frac{1}{2m}(p^{2}+m^{2}\omega^{2}q^{2})=E$ .
ハミルトンの主関数をSとして $p=\frac{\partial S}{\partial q}$ , これよりHamilton-Jacobiの方程式を得る:
$\frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+m^{2}\omega^{2}q^{2}\right]+\frac{\partial S}{\partial t}=0$ .
ハミルトニアンが時間に陽に依存しないことからSはHamiltonの特性関数
$S(q,\alpha,t)=W(q,\alpha)-\alpha_{1}t$
と書け, 従って
$\frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+m^{2}\omega^{2}q^{2}\right]=\alpha_{1}$ .
積分定数 $\alpha_{1}$ はエネルギーEと同一視することができる. この式はただちに積分することができて
$S=\sqrt{2m\alpha}\int dq\sqrt{1-\frac{m\omega^{2}q^{2}}{2\alpha}}-\alpha_{1}t$
を得る. Sはもともと変換の母関数であったので
$\beta '=\frac{\partial S}{\partial \alpha}=\sqrt{\frac{m}{2\alpha}}\int \frac{dq}{\sqrt{1-\frac{m\omega^{2}q^{2}}{2\alpha}}}-t$
積分を計算して
$t+\beta '=\frac{1}{\omega}\arcsin q \sqrt{\frac{m\omega^{2}}{2\alpha}}$
qについて解けば $q=\sqrt{\frac{2\alpha}{m\omega^{2}}\sin (\omega t+\beta)$ .
また $p=\frac{\partial S}{\partial q}=\frac{\partial W}{\partial q}=\sqrt{2m\alpha-m^{2}\omega^{2}q^{2}}$
これは $p=\sqrt{2m\alpha}\cos(\omega t+\beta)}$ を与える。