連続群論入門 p54の例

すべての表現が完全可約であるわけではない。たとえば三角行列の群 $T=\left( \begin{array}{cc} a&c \\ 0&b \end{array} \right)$ の各元にそれ自身を対応させる表現は完全可約でない

という記述があった。これの証明は読者に任されているので、これをやってみたい。
以下証明。

表現空間を、 $V_{T}$ とする。このとき、 $V_{T}$ の部分群 $\left\{ U={\left( \begin{array}{c} \alpha \\ 0 \end{array} \right\); \alpha \in \mathbb{C} \right\}$ は
三角行列 $T$ の元 $t$ に関して不変である。逆に、 $1\times 2$ の縦ベクトル $\left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\)$ が
$T$ に関して不変であるとすると、 $\left( \begin{array}{cc} a&c \\ 0&b \end{array} \right\) \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\) = \left( \begin{array}{c} ap+cq \\ bq \end{array} \right\)$
となるので、変換前後の2元の差 $\left( \begin{array}{c} ap+cq \\ bq \end{array} \right\)- \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right\)=\left( \begin{array}{c} (a-1)p+q \\ 0 \end{array} \right\)$
となり、結局 $U$ の元となってしまう。