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ベクトル解析のいくつかの公式についてのメモ

電磁気学流体力学などで、場の量を記述するためにはベクトル解析が便利な道具となる。本当は必須ではないのだが、これを使うと非常に計算の見通しが良くなる。ただし有用な公式をおぼえるのはなかなか骨だったりする。

たとえばこういう公式は頻出である。
 (\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \times \mathbf{C}=(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})\mathbf{B}- (\mathbf{B}\cdot \mathbf{C})\mathbf{A}
おぼえられなければその場で再現するというのが良い。完全反対称テンソルを使った方法は、非常に記法が簡単になり、せいぜい3行くらい計算で導出ができる。完全反対称テンソルに親しんでいない場合、もう少し直観を使う方法もある。これについて書いてみる。
上式左辺であるが、これは×Cの部分から、すぐにベクトルCに直交していることが言える。従って計算の結果は、AとBの線型結合で表せる。あとは符号を含めた係数の問題である。それぞれの項がA、B、Cを含め、係数が内積で書けることさえ覚えておけば、具体的にベクトルを入れてしまうのが良い。たとえば、ハットを単位ベクトルを表すものとして、
 \mathbf{A}=\hat{\mathbf{x}}
 \mathbf{B}=\hat{\mathbf{y}}
 \mathbf{C}=\hat{\mathbf{x}}
とおいてみよう。すると \hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}なのでけっきょく
 (\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \times \mathbf{C}=(\hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{y}})\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}=(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\mathbf{B}
となり、係数が決まる。ベクトルAの係数も同様に決まる。簡単ですね。


他にも暗記法はあるかもしれない。