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復習

あらためて書くまでもないことだったはずだが,最近はこういうのも確認しなくちゃ自信がなくなってきてしまった。

 \int \phi(\| \b{r}-\b{r}\|)\delta\rho (\b{r})\delta \rho (\b{r}')d\b{r} d\b{r}'

のFourier表示を考える。

 \delta \rho (\b{r})=\frac{1}{V}\sum_{\b{p}}\delta \rho_{\b{p}} e^{i\b{p}\cdot \b{r}}

 \phi(\b{r})=\frac{1}{V}\sum_{\b{p}} \phi_{\b{p}} e^{i\b{p}\cdot \b{r}}

とすると上の積分

 \frac{1}{V^{3}} \sum_{\b{p}\b{p}'\b{p}''}\int \phi_{\b{p}}\delta \rho_{\b{p}'}\delta \rho_{\b{p}''}e^{i((\b{r}-\b{r}')\cdot \b{p} + \b{r}\cdot \b{p} + \b{r}'\cdot \b{p}'')}d\b{r} d\b{r}'…①

expの中身のiを除いた部分は特に

 \b{r}\cdot (\b{p}+\b{p}')-\b{r}'\cdot (\b{p}-\b{p}'')

であって,この部分は空間積分 V^{2} \delta_{\b{p},\b{p}'}\delta_{\b{p},-\b{p}''}となるので,結局①は

 \frac{1}{V}\sum{\b{p} \phi_{\b{p}}\|\delta \rho_{\b{p}}\|^{2}

となる。

空間的な一様性と行列の持つ数学的性質の関係が見て取れる。行列が対角化できるというのはつまり運動量が良い量子数(保存量)となるということである。