何の脈絡もなく"0.999…=1"について書く

理系の学生の学ぶことで、文系の学部を出た人にとってアピールするのは何だろうかと考えた。「空はどうして青いだろうか」とかそんな感じの身の回りの物理現象というのもいいだろうが、純粋な数学もまた多くの人の興味を惹きつけると想像する。*1またこれは、理系の人間がどのようなものの考え方をしているかを示す一つの好例になると思うのである。そんなわけで、表題の内容について書いてみようかという気になったのだ。

"0.999…=1"を理解するにはそもそも何が必要なのか

数学になじみのない人にとって"0.999…=1"というのは納得のいかない式かもしれない。右辺は整数なのに左辺は整数ではないように見えるので、そう思ってしまうのも無理はない。しかし理系学生が大学でやる数学を知れば、この等式に納得がいくようになる。この式を理解するには左辺"…"の意味をきちんと考える必要がある。実は"…"は、"極限"と呼ばれる数学的な操作を意味するのである。
左辺の"･･･"はどういう意味だろうか。「9が無限個続く」というのは誤解を招きやすい表現だ。そもそも「無限個」というのはどういう意味だろうか。数学においては言葉の意味を明確にして議論を進めなくては、無意味な結論を導くしそもそも議論が成立しない。今回の場合で言えば"…"の意味は本来、事前に了解が得られているべきものであって、各々がなんとなくで解釈してはいけない。要するに、"0.999…"と書いた書き手は、ある特定の方法でそれが解釈されることを想定しているのだ。それはどのようなものであろうか。

"…"の意味

正解を述べると"0.999…"が意味するものは「 $a_{n}$ =0.999… 9(9がn個)の、nを大きくしていったときに近づいていく値」である。これを $\lim_{n\to +\infty}a_{n}$ と書くこともある。もう少しこの意味を噛み砕いてみよう。9をn個並べた小数"0.999…9"を想像してみる。いま小数点以下に9がn個並んだ数 $a_{n}$ =0.999… 9(9がn個)とn+1個に増やした数 $a_{n+1}$ =0.999… 99](9がn+1個)とを比較すると、 $a_{n+1}$ >[a_{n}]だ。こんな風に、nを増加させると $a_{n}$ はどんどん大きくなっていく。しかしどんなにnを大きくしたところで $a_{n}$ は1には及ばないのもまたわかるだろう。したがってnを増加させても $a_{n}=0.999\cdots 9$ (9がn個)は発散することなく、ある数に近づく、ということが可能になるのだ。またこれは実際に起こっていることでもある。
その"ある数"というのが1であることの証明は"ε-N論法"というものによる。これは（悪名高い）ε-δ論法の親戚のようなものであるが、考え方は同様のものである。数学の言葉でこれを証明すると、次のようになる。

∀ε>0 ∃N∈{自然数全体の集合} s.t. 『n>N ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』

ε-N論法

上に挙げた数式の意味を説明しよう。この式は左側から読む。
"∀ε>0"に現れる"∀ 〜"であるが、これは「任意の〜に対し」という意味を持つ。英語で言えば"for all〜"だ。ここでは後ろに"ε>0"というのがつくので、「ゼロより大きいどんな任意のεをとってきても」という意味になる。
次に"∃N∈{自然数全体の集合}"であるが、"∃〜"は「〜が存在する」という意味を表す。同じように英語で言えば"there exists 〜"ということだ。つまり"∃N∈{自然数全体の集合}"は「自然数Nが存在する」という意味になる。しかしNに課される条件はこれだけではない。
後ろの"s.t."に注目してもらいたい。これは英語で"such that"の略であり、"したがって∃〜 s.t.…"とは「…を満たすような〜が存在する」という意味になるのだ。ここまでを踏まえて、うえの数式を英訳すると"For all ε>0, there exists N (natural number) such that 『n>N ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』."ということになる。最後に『n>N ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』の意味がわかれば上の式の意味は理解されたことになる。
"⇒"というのは右と左の論理関係を表すものであり、例えば「A⇒B」と書いてあれば「Aが成り立つときはBが成り立つ」ということを意味する。この意味で『n>N ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』を解釈してみるとこれは「nがNより大きいならば|1- $a_{n}$ |<εが成り立つ」ということになる。|1- $a_{n}$ |<εの左辺の"|〜|"は絶対値を表す記号で、数直線上では距離を表す。なので、|1- $a_{n}$ |<εは「1と $a_{n}$ の数直線上における距離は、εよりも小さい」ということを意味するわけだ。

数式解釈教室

ここまでで必要な知識は全て与えられたはずである。しかし、数学が難しいのは数式に現れる一つ一つの
記号の意味がわかったからといって、そのまま論理全体が理解できるとは限らないということである。これは英語と似ている。英文が読めないのは単に単語がわからないからではない。文章は全体で一つの意味に対応しているのだ。その意味を理解するのが解釈と呼ばれる動作であって、それはいくら逐語訳を重ねたところで達せられることではない。
したがってここまで理解したからといって、上の数式が理解できるというわけではないのである。だから、これまでの説明を踏まえて自分なりに上の数式を理解しようと試みてほしいのである。例えばこれが必修の単位であると想像しながら…

"For all ε>0, there exists N (natural number) such that 『n>N ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』."と同様の内容を形を変えて述べてみるというのは理解の助けになるだろう。*2はじめに、何かしらの正の数εを頭の中に決めてほしい。正ならば何でもよくて、100だろうが1だろうが、0.0001だろうが良い。どんなεを頭に想像しても、ある自然数Nが存在して『・・・』の中身が成り立つようにできると言うのが今回の主張の形式なのである。
具体的に見てみよう。例えば、ε=0.0001をとってきたとする。このとき、|1- $a_{n}$ |<ε=0.0001となるのはどんな場合だろう？定義から $a_{n}$ =0.999… 9(9がn個)だったので、左辺は1-0.999…9=0.000…1(小数点以下0がn個)となる。だから

1- $a_{n}$

=1-0.999…9=0.000…1(小数点以下0がn個)<0.0001

となるには、nが4よりも大きければいいことになる。つまりεが0.0001のときは、n>3であれば式は成り立つ。つまり『n>3 ⇒ |1- $a_{n}$ |<ε』となり、整数N=3が存在（there exists）するという事になるのだ。
おそらく一度聞いてもぼんやりとしか伝わらないと思う。自分で好きなεをとって考えてみるといい。この試行なしにして、抽象的な概念を理解するのは至難。逆に言えばこれをやるとわかるように人間はできているのだ。この便利な人間に備わった性質を利用しない手はない。

結語

これで一通り"0.999…=1"について必要な知識は述べた。上の説明に現れた記号の意味は、おそらくそれほど難しくはなかったはずだ。にもかかわらず、全体の意味を理解するには多少の時間がかかると思う。数学の定理の証明もこれに似ている。行と行の間の式変形はさほど難しくない。しかし式を追っていくだけではなぜそれで証明が済んでいるかわからず「気づいたら証明できている」という域を脱することはない。このギャップを埋めるには、粘り強く考えるしかないのだ。
意味の文脈依存性は極力排除されている。だから、異なる100人が数式を見れば100人が同じ解釈をすることができる。客観性を重視する科学が数学を必要とすることも、このように考えれば自然なことだと言えるのである。
理系の学生は入学するとこんなトレーニングをすぐ開始し、考え方を習得していく。

*1:本当か…笑

*2:今回の場合に限らず、抽象的な事柄を理解したいときにはその内容をいくつも言い換えてみるというのが有用であることは多い。