山内・杉浦「連続群論入門」

やー、今日は眠かった。さて、いよいよ§3.規約表現の構成が終わりました。いつもどおりメモ。

  • [V]可換群の複素既約表現はすべて一次元である

証明の肝はシューアのレンマ。てかそのまんま。例としてはSO(2)の複素既約表現が \chi_{m}(a_{\theta})=e^{im\theta},m=0,\pm 1, \pm 2, \cdotsで尽くされる、など。

  • [VI]完全可約表現(ρ,V)が既約であるためには、すべてのρ(g)と可換なVの一次変換Aがスカラー変換に限ることが必要充分である。

特にユニタリ表現について成り立つのがでかい。証明は直和分解による。

ここまでの準備を踏まえて

  • 表現空間における適切な内積のもとで、 \rho_{m}がユニタリ表現となる

ということを示す。具体的には
 \frac{z_{1}^{k}z_{2}^{m-k}}{\sqrt{k!(m-k)!}},0\leq k\leq m
を正規直交基底とするようにV_{m}に内積を入れるとρ_{m}(g)はユニタリ表現となるのだ。証明は、この内積において確かにρがユニタリ表現になることを、適切な基底を導入することによる。

規約性は、[VI]を用いる。つまりすべてのρ_{m}(g)と可換な一次変換Aがスカラー変換であることを示せばよい。必要条件の吟味から、導けて確かに既約であるというお話。

定理1. (5)または(8)で定義されたSU(2)のm+1次元の表現ρ_{m}(m=0,1,2,…)(これを最高ウエイトmの既約表現というという)はすべて既約である。ρ_{m}は内積(12)によってユニタリ表現となる。ρ_{m}はmが偶数のときだけρ_{m}(-1)=1となり、(1)によりSO(3)の既約な一価表現τ_{m}を与える。
mが奇数のときはρ_{m}(-1)=-1であってSO(3)の二価表現を与える。

さらに吟味すべきは「SU(2)の既約表現はρ_{m}で尽くされるのか」*1と「SU(2)の任意の表現は完全可約であるということだという」*2
これらの問題を扱う、まったく異なる二通りの方法があるらしい。一つ目は「リー環の表現論によるいわば微分的な方法」であり、もう一つは「群上の不変積分を用いる積分的方法」であるという。それぞれE.カルタンとH.ワイルにより発展させられたものであり、両者についてSU(2)、SO(3)の具体例を見ていくことにする。*3

*1:答えはyesらしい

*2:既約な表現は完全可約な表現の特殊な場合である。完全可約表現はいつも既約表現を使って表されるため、既約表現が求まればすべての表現が求まることになる

*3:一般のコンパクト半単純リー群の場合にもほとんど同様の議論が成り立つ