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108. 集合の測度

閉じた系に関する集合関数が完全に加法的で非負であるとき、をもっての測度とする。以下、さまざまな定理など。

109. 積分

ついに積分まで来た。案外あっさり。f(x)≧0の時、をの任意の分割とする(単純分割和)。このとき、におけるf(x)の値の下限をとして和を作る。すべての分割に関する上限を集合の上のの積分といい、それをと書く。fが非負でないときは正負の部分への分割をもって積分を与える。そのほかは、積分に関する定理など。

体裁崩れまくりだ…
積分論はなんかわけのわからないことをしている印象があったが、実際に取り組んでみると自分の知っているRiemannの積分の一般化の流れとしては、むしろ素朴なもののような気がする。しかし、面積や体積の足し算としてごく直感的に導入された積分操作からすれば、ずいぶんと人為的な手続きに感じるが。
ここまでくれば、あとは測度の入れ方の問題なのだと、目的が見えてくる。先を急ぎたいところを抑えて、次は積分の性質についていくつか見ていく。線形性などは実はまだ示されていない。