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物理 memo

量子論の演習で見覚えのあったtime-independentな摂動はBurillouin-Wigner展開と呼ばれているものらしい。
|\Psi \rangle = |\Psi_{0} \rangle + \frac{1}{\cal{E} - H_{0}}PH' |\Psi_{0}\rangle + \frac{1}{\cal{E} - H_{0}}PH'\frac{1}{\cal{E} - H_{0}}PH' |\Psi_{0}\rangle +\cdots
両辺に左側から \langle \Psi_{0}|をかけると見慣れた式に「よく似た」式*1を得る。
\cal{E} = \cal{E}_{0} + \langle \Psi_{0}|H'|\Psi_{0}\rangle + \sum_{n\neq 0}\frac{|\langle \Psi_{0} |H' |\Psi_{0}\rangle |^{2}}{\cal{E} - \cal{E}_{n}}+\cdots
Brillouin-Wignerの展開式は自己無撞着な解法のプロトタイプになっている。

*1:見慣れた式はレイリー-シュレディンガーの展開と呼ばれるもので、エネルギー分母に現れるのがEではなくE0であった。