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先日の、納得がいかなかったパズルについて更に書きます。しばらく一人で考えて、納得がいかない理由を明確にしたので備忘録的に書いておこうかと思うわけです。そのクイズは、こんなものでした。 「4人が宿泊しているホテルの部屋から、女性が出てくるとこ…

むしろ逆に確率を質的にとらえて納得する

立ち読みした本に確率のパズルが載っていて、それについて考えたりしていた。そのパズルについては数日間考え、答えを本で確認したところ、納得するものとは言えなかった。条件付確率と呼ばれるものを利用したパズルで、ベイズ統計学と関係のある問題だ。こ…

一般化非線形モデルの誤差伝播

もっと線形代数 - ttrr's blogyanatsuba.hatenablog.com 先日のことであるが、一般化線形モデル y = Fa に従う現象を観測し、その係数a_iを決めたい問題を抱えていたのであった。統計学上のよく知られた議論により、これは正規方程式 F^t y = F^t Faに帰着す…

ベクトル解析のいくつかの公式についてのメモ

電磁気学や流体力学などで、場の量を記述するためにはベクトル解析が便利な道具となる。本当は必須ではないのだが、これを使うと非常に計算の見通しが良くなる。ただし有用な公式をおぼえるのはなかなか骨だったりする。たとえばこういう公式は頻出である。 …

もっと線形代数

何かの測定量yについての、一般化線形モデル y = Σ a_i f_i(x) (i = 1 ~ n) の係数a_iを決める問題について考えたい。f_iはべき関数でも、負べきでも、三角関数でもなんでもよい。係数aについてyが線形になっていれば、問題はこの形に帰着する。これを解く…

2重余事象

タイトルは造語。 http://q.hatena.ne.jp/1361848511 数学、確率の問題です。1〜kまでの正の整数が書いてあるカードがm組あり、それぞれのカードの組からn枚ずつカードを引くとき、すべてのカードの組から、同じ数字のカードを、少なくとも1枚引く確率を…

英語できない

学生時代に,英語が絶望的に苦手な後輩がいた。彼は選択式の英語の試験でも適当に解答し,めでたく0点を取ったという筋金入りの英語できない系だ。試験はA〜Zまで26個の選択肢を持った英語のフレーズ・単語について,同じく1〜26まで並んだ日本語と結びつけ…

フーリエ変換について、よくわからないまま使っているのが気になって、フーリエの定理の周辺を調べていた。区分的になめらかな関数についてはディリクレの定理から各点収束が言える。ディリクレの定理はリーマン-ルベーグの定理から示される。学部時代に講義…

高校の頃、対数微分という技をならった。例えばという関数を微分するとき、まず両辺の対数をとり logy=xlogxとしてから両辺の微分をとり y'/y = logx+1 から、y' = x^x (logx+1)とする方法だった。もちろん対数関数の性質を理解していればこんなものは必要な…

高校数学でないがしろにされがちな「論理」

高校生に数学を教えているが,彼らはほとんど必要条件と十分条件の区別がついていないのではないかと感じる.たとえば,「○○を満たすようなxをすべて求めよ」という問題があったとする.もう少しちゃんとした形で書くならば命題関数P(x)が真となるようなxの…

考えてたこと

「金利(%)×年数(年)=72となるとき、元金はおよそ2倍」というのを見つけた。(1+x/100)^n=2を考えてx/100 http://twitter.com/#!/ttrr/status/29211852357505024 xの第2項まで考えるとそのままべきをとった場合nC2*x^2だが、対数展開だとx^2/2となる。この…

問題

頑張れば大学受験生でも解けそうな問題。 三角形ABCを考える。いま周の長さの和がAB+BC+CA=1と固定されているとき、三角形ABCの面積が最大になるのはどんなときか。 友人(工学系)の院試に出た問題。ヒントとしてはまあ、式の対称性を利用すると便利なのでそ…

何の脈絡もなく"0.999…=1"について書く

理系の学生の学ぶことで、文系の学部を出た人にとってアピールするのは何だろうかと考えた。「空はどうして青いだろうか」とかそんな感じの身の回りの物理現象というのもいいだろうが、純粋な数学もまた多くの人の興味を惹きつけると想像する。*1またこれは…

数物系の学生・研究者に絶大な人気を誇っているちくま学芸文庫。需要の少なさを考えるにおそらくもとは取れていないことだろうが、根強いファンも多いことと思う。 ここから先は友人から聞いた未確認情報であるが、ちくま学芸文庫があれだけ好き勝手できるの…

山内・杉浦「連続群論入門」

読んでますとも。II章の「回転群とその表現」読み終えました。指標を使った規約性の証明と、完全性の証明も。 §5.Clebsh-Gordonの定理 始めに気になるのは、GordanではなくGordonではないのかと。まあいいや。テンソル積表現を既約表現の直和に分解できると…

山内・杉浦「連続群論入門」

サボっているわけではないが、何かとやることが多くてメモを書けない。適当な感想文になってしまったが、ちゃんと読んでますよアピールをしておこう。 不変測度・不変積分の導入を終えた。これで表現間に内積が定義できたりするようになる。内積を入れるとい…

山内・杉浦「連続群論入門」

やー、今日は眠かった。さて、いよいよ§3.規約表現の構成が終わりました。いつもどおりメモ。 [V]可換群の複素既約表現はすべて一次元である 証明の肝はシューアのレンマ。てかそのまんま。例としてはSO(2)の複素既約表現がで尽くされる、など。 [VI]完全可…

山内・杉浦「連続群論入門」

ああ、このタグを使うのは一体いつ以来でしょうか。というのも実は場の理論でローレンツ群の表現が出てきてから、この分野の復習が必要だと感じて、また新たに勉強を始めることにしたという顛末でございます。今度はペースメーカーとして勉強記録をつけたい…

TAをやっていて気づいた、学部1年生に多い間違いについて書いておく。半径Rの球面上の微小面積を積分して球の面積を求めよ、というよくある問題なのだが をで積分しやがって、何食わぬ顔でよく知っている公式を答えとして得ているやつがたくさんいた。π^2と…

数学タグで数式が出てこない記事は初めてかもしれない.朝日新聞のグループの素晴らしい試み. 朝日新聞グローブ (GLOBE)|数学という力 Power of Mathematics 数学の楽しさから,急速に産業で用いられるようになった数学の分野まで,数学のさまざまな顔を紹…

NHKでリーマン予想の番組が放映されていたらしい。ある子が「見逃した」とmixiで嘆いていたのを聞いて、そんな番組があるのを知ったのだ。彼女は文系であるにもかかわらず、サイモン・シンの「フェルマーの最終定理」を読んで数学にもっと親しみたいと思った…

どこぞで書いた文章ですが、思ったよりも反響がでかかったのでとりあえず転載してみよう。 (前略) さて、早速ですが「数学を言語として見られるでしょうか」という問いを投げかけておきます。自分の場合。 小学校とかで算数を習った頃は、数学が言語だなん…

すでに必要な単位もないので、面白そうに思った数学科の授業に出ている。授業中に学生が指されるタイプの授業で出席者は30名弱なのだけど、名簿の中から他学科の受講生を探して指してくる。そんなわけで、僕も指されたわけだけど、答えることができなかった…

110. 積分の性質 積分など。リーマン積分は極限操作と相性が悪かった。ルベーグの収束定理は大きな業績であって、極限操作と積分の交換を一般化した枠組みで示すことができた。抽象化の威力よのぅ。ここでひとつ気づいたことだが、解析概論で「M函数」と呼ば…

実解析の勉強をするにあたり、集合と位相の復習も必要を感じまして、チョボチョボやっていきます。なにやら、以前は勘違いしていたような箇所が散見されるようです。今日は、集合における位相の定義と具体例を見ました。 クラトウスキイの公理は、前回の学習…

105. 集合算 集合に関する操作&記号の復習。上極限と下極限の定義など。集合における点関数と、定義関数*1 106. 加法的集合類(σ系) 集合の部分集合におけるσ系の定義。 107. M函数 M函数の定義。いくつかの定理など。 次は測度の概念。 *1:fonction caracté…

という物理量のトレースを考える。規格直交化された2つの基底系とを考える。 トレースは基底によらないことを見る。(示すほどのことではないので見るといおう) を用いれば上式は となる。トレースは座標系によらない性質が示された。くだらない例だが、ディ…

ブラケット形式の線形代数

線形代数の教科書の一部を、ブラケット形式で書きなおしたいと思っています。行列の表示および変換と、基底の固定および基底の変換はそれぞれ対応していますが、そこらへんの形式的な箇所をブラケットで書きなおしてみたい。ブラケット記法の優れているとこ…

わろち

連立一次方程式解けなくて笑った。計算に慣れるとか慣れないとか、もうそういうレベルじゃないんですけどね。うーんショックだ。

『連続群とその表現』 §5.1SU(2)の表現

量子力学で見慣れた角運動量の表式が現れる。量子力学では交換関係を最初に仮定した。今度の場合最初にSU(2)ありきで議論を開始した。この二つの論理の関係がいまいち見えてこない。というか、スピンがどうしてこういう構造を持っている(と考えられるように…

SU(2)の表現

SU(2)の表現について疑問がある。 をl次以下の多項式としてなる写像からなる表現空間を用いる方法を扱った。そのほかになる表現空間を用いる方法もあるようだ。後者はスピノル表現と呼ばれるようだけど、前者の呼び名ってなんかあるのだろうか。

「連続群とその表現」 §4.3 反傾表現と表現の直積

うおー数学きつくなってきた。 表現空間の反傾表現っていうのはdual spaceにおける表現と捉えていいんですかね。てか疑問はそれだけじゃない。この本の中じゃHilbert空間において直積とテンソル積を同じものとしているようだけど、それってどうしてそんなふ…

島「連続群とその表現」 §4.2 既約表現と表現の直和

T-不変の概念の導入。既約(irreducible)、可約(reducible)の定義と例。Schurのレンマと部分表現、表現の部分表現への分解。 それからちょっと難しい定理をいくつかやった。 それにしても図書館混んできた。テスト前ともなるとやっぱね

 島 「連続群とその表現」 §3.1, 3.2, 4.1

不変積分の導入、例。 Haar測度なんかを導入したのだけど、測度に不慣れすぎてあまりしっくりこない。 ていうか、測度なんて出てきたの初めてだしなあ。§3.3の不変積分の性質は ぱらぱら眺めるだけで4章に突入です。4章はいよいよ表現論。 纏絡作用素などと…

連続群とその表現

ドトで数学中。 加算公理とかコンパクト性のオンパレード。

連続群とその表現 §1.1, §1.2, §1.3

いま§2.1の位相群の基本的性質読んでる。 同相だとか、コンパクトだとか、集合論でやったことがずいぶん生きそうだ。 どんなone-parametor subgroupでもexpの形でかけるというのは驚いた。今は位相群の左一様連続性に関する定理の証明の途中。

連続群論入門

結局入門できませんですた。 挫折って言う言葉がすごくしっくり来るんですな。 心が折れちゃって1人じゃ頑張れません。 代わりに 連続群とその表現 (応用数学叢書)作者: 島和久出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 1981/04/24メディア: 単行本 クリック: 4回こ…

連続群論入門 p54の例

すべての表現が完全可約であるわけではない。たとえば三角行列の群の各元にそれ自身を対応させる表現は完全可約でない という記述があった。これの証明は読者に任されているので、これをやってみたい。 以下証明。 表現空間を、とする。このとき、の部分群は…

§28.距離空間の完備化

内田 集合と位相の距離空間の完備化を眺めて読了。 もはや惰性。残すは§27.距離空間のコンパクト性と§2?.の有限交叉性とかチコノフの定理やって ひとまずおしまい。やる気が残ってれば写像空間の§29&§30もやろう!数学にもう少しで入門できそうで…

集合と位相 §27.距離空間のコンパクト性

あー、まじきつい。§26.距離空間の完備性はなんとかこなせた。 でもコンパクト性は証明が長すぎてどうにも・・・定理の内容だけ理解して 早く多様体論をやろう。 しかし§25.連結性ではちょっとばかし感動させてもらったよ。 まさか中間値の定理が証明できると…

瓜ゾーン

Urysohnの補題を解説するプリントを作ってみました。 正規空間の定義の確認 定理を一つ証明 Urysohnゾーン 「みんながわかる瓜ゾーン」

20090107P.S.

必要なのは一点集合の閉集合性でした。 T1分離公理からただちに導ける。 うりぞーんは単に完全正則性の証明を間に挟むために必要。

選択公理

選択公理についていくつか思うことがある。これは数学の初心者である僕が言っているだけで、実際のところどうなっているのかはまったく知らないよ、と逃げの手を打っておこう。 無限集合を扱うようになって、よく選択公理を使う証明を見かけるようになったの…

§22. コンパクト性

コンパクト性の章はあとルベーグ数の存在を示す例を残すのみ。 明日中には終わるだろう。コンパクト性は、終わってみれば何ということはない。 ハウスドルフ空間と正規空間、正則空間の関係がはっきりした。 ハイネ-ボレルの被覆定理とか、有名な定理もやっ…

したの日記

逆が示せんぞ! 解答見ても納得せず。

Hausdorff空間

数学の問題、何日間も考えたのに答えはわかってしまえば びっくりするほど簡単でした。やっぱり俺は数学苦手なのだな。 がっかりだ。

集合と位相

コンパクト性へ。

たようたい

"たようたい"って変換すると、必ず"多様隊"が出る 辞書登録で「多様体」って登録してるのに〜〜〜MicrosoftOfficeのIMEがほんとゴミクズ過ぎてつっかえねえ。 級多様体上の 級関数や、多様体間の 級写像を 定義した。節空間の話に突入しそうだ。

ウリゾーンへ馳せる思い

多様体のテキスト順調〜〜って、まだ頭だし全然楽なんだけど。 級の微分可能多様体を導入して座標変換なんか。今日のワンポイント"ウリゾーンの補題"のウリゾーンは、26歳の時に海で溺れて死んでしまったらしい。ウリゾーンはコンパクト性の概念の生みの親ら…

高校数学

大学受験の数学、難しい…汗